Ejemplo de la aplicación de las funciones vectoriales en la Ingeniería civil

EJEMPLO DE UN PROBLEMA DE CURVATURA EN CARRETERA

Un automovilista se desplaza por una carretera recta. En el instante t=0 llega a una rotonda la

cual recorre con una trayectoria f ̅(t)=(acost,asent,bt(2-t)); t Є [0,2]. En el instante t=2 sale de la

rotonda y vuelve a continuar por una carretera recta.

Calcule la curvatura máxima en la rotonda para t Є [0,2] ¿en qué punto ocurre?

k=|f ̅ '(t)×(f ) ̅''(t)|/|f ̅'(t)|^3

f ̅ '(t)=(-asent,acost,2b(1-t))→|f ̅ '(t)|=√(a^2+4b^2 (1-t)^2 )

f ̅(t)=(-acost,-asent,-2b) 1

f ̅ '(t)×(f ) ̅^''(t)=(-2abcost+2ab(1-t)sent,-2absent-2ab(1-t)cost,a^2)- |f ̅ '(t)×(f ) ̅''(t)|=a√(a^2+4b^2 (1+(1-t)^2 )

k(t)=(a√(a^2+4b^2 (1+(1-t)^2 ))/??(a?^2+4b^2 (1-t)^2)?^(3⁄2)

Sea Ψ(t)=a^2+4b^2 (1-t)^2 ⇒ Ψ^' (t)=-8b^2 (1-t)⇒en t=1 hay un punto crítico

Como Ψ^'' (t)=8b^2>0, en t=1 hay un mínimo de Ψ (t) y un máximo de k (t) pues son

inversamente proporcionales.

k(t)=√(a^2+4b^2 )/a^2 en el punto f ̅(1)=(acos1,bsen1,b)